Лихолетие 90-х

(На пороге третьего тысячелетия).

     Авторская судьба,  неразрывно связанная с ящиками (со сменой "тюремно-лагерных" на " почтовые"),  устранила тлетворное влияние различных "школ",  которые мне представляются чем-то похожим на  "конфессиональную привязанность".

     Отсутствие принадлежности к той или иной школе как в  математике, так и в философии (что не мешало мне дружить как с выдающимися математиками, так и философами нашей страны),  обогатило меня ЛИЧНЫМ ОБЩЕНИЕМ, которого так не достает нашим монографиям. Выдающиеся ученые весьма  редко  "открывают свою душу",  а опубликованные тексты не содержат боли души и сомнений.  Эти личные беседы и есть то, что я должен передать,  будущим поколениям, "светлой судьбы" которых я не могу гарантировать. Перед нашими потомками возникнет колоссальное количество НАУЧНЫХ ПРОБЛЕМ,  требующих для своего разрешения И МАТЕМАТИЧЕСКОГО, И ФИЛОСОФСКОГО ВООРУЖЕНИЯ.

     Я считаю,  что У ФИЛОСОФИИ НЕТ БУДУЩЕГО БЕЗ МАТЕМАТИКИ, а У МАТЕМАТИКИ НЕТ БУДУЩЕГО БЕЗ ФИЛОСОФИИ. В самой философии сосуществуют как ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА,  так и ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.  К настоящему времени вся ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА поглощена МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ЛОГИКОЙ,  а  некоторые признаки ДИАЛЕКТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ разбросаны по  представителям ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

     Философское "отрицание", имеющееся в диалектической логике, ОГРАНИЧЕНО ТОЛЬКO (!) "ОТРИЦАНИЕМ" АКСИОМ  в аксиоматических  теориях.

     В этом смысле философу, который не знает современных математических аксиоматических теорий - НЕЧЕГО ОТРИЦАТЬ,  так как  отрицание  вне аксиоматики перерождается в старую СОФИСТИКУ.

     Я считаю своими философскими предшественниками таких математиков, как Понселе,  Лобачевский,  Бойяи,  Гамильтон, Шаль, Грассманн, Риман, Клебш,  Гордан,  Ли,  Клейн, Клиффорд, Пуанкаре, Дарбу, Брауэр, Граве, Гейтинг, И.В.Арнольд, П.С.Новиков, Л.С.Понтрягин, Вейль.

     Трагедия современной науки состоит в том,  что требуется  ДВОЯКАЯ ПРОДУКТИВНОСТЬ АВТОРА, как в математике, так и в философии.

     Нельзя получать  философские  знания  из "вторых,  а то и третьих рук", как это сделано группой Н.Бурбаки.

     Нельзя получать математические знания от человека, который ничего не сделал в математике.

     Кто знаком с жизнью "ящиков",  тот знает,  как мало из того,  что там делалось,  достигает уровня "открытой публикации".

     Я знаю,  что не только у нас, но и в других странах, ученому приходится подписывать справку,  что "в публикации нет ничего нового, что может составить "государственную" тайну". Перед лицом проблем, которые возникнут перед нашими потомками, проблем, охватывающих судьбы планеты и человечества, не может быть "государственных" тайн.

     Вопросы, которые  вправе  задавать математик ФИЛОСОФУ могут иметь следующий вид:"ПОЧЕМУ?"

     1. Почему Человечество ДОЛЖНО было ПРИДУМАТЬ математику?

     2. Почему  современная  математика ДОЛЖНА опираться на АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ?

     3. Почему блестящее знание математики остается ВОЗМОЖНОСТЬЮ,  которая не всегда превращается в ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ по отношению к  успеху ее применения в решении проблем ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЖИЗНИ,  которые волнуют ЧЕЛОВЕЧЕСТВО?

     Лишь на определенной стадии  развития  ребенка  возникает  вопрос "Почему?"

     На предшествующей стадии своего развития ребенок согласен с "объяснением"  того,  "почему" автомобиль или паровоз едет - "потому,  что колеса крутятся!"

     Нечто подобное происходит и по мере развития НАУКИ.  Именно с момента, когда наука становится "взрослой", она может задать вопрос: "Почему существуют физики-теоретики, которые занимаются разработкой космологических  моделей?"(Хокинг).



                    1. 2  ЧЕЛОВЕЧЕСКИЙ "МИР ОБРАЗОВ".

     Только человек обладает  уникальным  свойством  ассоциировать  со СЛОВОМ своим  внутренним взором "ОБРАЗ" предмета,  которого нет в поле зрения. При слове "луна" в сознании  собеседника  возникает  некоторый "образ" луны, причем у различных людей эти "образы" - различны. Всякая попытка добиться от естественного языка единообразия "образов" обречена на неудачу и является лишь новым вариантом трактата Козьмы Пруткова "О введении  единомыслия в России".  Именно эти создаваемые внутренним взором "образы" и несут ответственность за то, что Вейль называл словом "СМЫСЛ".  "Осмысление", о котором он писал, и есть интуитивная аппеляция к этому миру образов. Некоторая нелюбовь к философии, получившая  распространение в естественных науках вообще,  и в математике,  в частности,  порождена знакомством не с лучшими  представителями  философской культуры. Однако, как правильно заметил В.Гейзенберг:

     "Во второй части своего доклада я  затрону  также  и  философские проблемы, связанные с понятием элементарных частиц.  Дело в том,  что, по-моему, известные тупики теории элементарных частиц  -  заставляющие тратить  много  усилий на бесполезные поиски - обусловлены почеркнутым нежеланием многих исследователей вдаваться в философию,  тогда  как  в действительности  эти  люди исходят из дурной философии и под влиянием ее предрассудков запутываются в неразумной  постановке  вопроса.  Несколько утрируя,  можно,  пожалуй, сказать, что дурная философия исподволь губит хорошую физику." (В.Гейзенберг. "Шаги за горизонт" М."Прогресс" 1987. стр.163)

     Он имел в виду "дурную философию", свазанную с кварками.

     То же самое можно сказать и о математике - дурная философия губит xорошую математику.

     Наш вопрос  о  НЕОБХОДИМОСТИ  создания математики,  как только мы коснулись мира "образов", и состоит в том, что человечеству понадобился мир "эталонных образов", который состоит из "образов", которые ТОЖДЕСТВЕННЫ САМИ СЕБЕ.  И весь СМЫСЛ математики и  состоит  в  том,  что только этот мир образов допускает возможность ТРАНСЛЯЦИИ,  то есть передачи от одного поколения людей к другому, того, что ПОЗНАНО НАУКОЙ.

     Нуждался в этом мире "образов" только человек, так как только человек получает колоссальный объем знаний не с помощью собственных  органов чувств,  а через РЕЧЬ. Использование речи для формирования образов предметов,  которых собеседник никогда не видел, через показ предметов природы,  на которые можно указать пальцем, - обречена на неудчу, так как в природе НЕТ НЕИЗМЕННЫХ ПРЕДМЕТОВ.

     Здесь, как и с Богом - если его нет, то его необходимо ПРИДУМАТЬ!

     Не "существует" в природе ни одного квадрата,  ни одной окружности, ни даже "прямой линии",  но все эти образы математических объектов регулярно ТРАНСЛИРУЮТСЯ из головы в голову, от одного поколения к другому поколению.

     Я утверждаю, что именно этот мир "геометрических образов" превращается в МИР АЛГЕБРЫ,  при введении ДИСКРЕТНОЙ сетки координатной системы, и он же лежит в основании МИРА АНАЛИЗА, если полагать, что координатные оси НЕПРЕРЫВНЫ.

     Это противоречие (между ДИСКРЕТНЫМ  и  НЕПРЕРЫВНЫМ)  должно  быть РАЗРЕШЕНО, что означает ОСМЫСЛЕННО.  В истории математики это противоречие встретилось в дисуссии между Понселе и Коши по поводу  использования мнимых элементов,  хотя проблема состояла в установлении соотношения между ДИСКРЕТНЫМ и НЕПРЕРЫВНЫМ,  между АЛГЕБРОЙ и АНАЛИЗОМ.  Вот как это описал Г.Дарбу:

     "Понселе, напротив,  желая построить все здание геометрии  совершенно  независимо,  встретил  затруднения,  на которые я уже указывал.

Чтобы преодолеть или,  вернее,  обойти их, он ввел знаменитый "принцип непрерывности",  который породил большую дискуссию, особенно между ним и Коши, и который можно сформулировать так: во всех случаях, когда доказательство  какого-нибудь предложения получено в предположении,  что некоторые части фигуры, участвующие в доказательстве, вещественны, это предложение продолжает существовать и том случае,  когда эти части исчезают или становятся мнимыми, а само доказательство перестает существовать.

     Этот замечательный принцип может оказать большие услуги;  но Понселе повредил ему тем,  что не захотел его изложить в настоящем виде и не опубликовал  его,  как простое следствие анализа.

     Аналитически его можно обосновать следующим образом.  В  огромном большинстве  случаев  геометрическое предложение приводится к проверке одного или нескольких рациональных соотношений между  величинами.  Эти же  соотношения не зависят от вещественности или мнимости фигурирующих в них элементов и поэтому достаточно их доказать, когда они вещественны,  чтобы заключить,  что они будут справедливы и в том случае, когда эти элементы становятся мнимыми.  С другой стороны, Коши ошибался, желая свести принцип непрерывности к чистой индукции,  отказываясь заметить,  что во всех случаях приложений своего принципа Понселе  никогда не рассматривал тех фигур,  к которым могли бы быть применены возражения знаменитого аналиста.

     Следует сказать,  что ни один из двух знаменитых геометров не был ни вполне прав,  ни вполне неправ.  Среди различных случаев существуют такие, как,  например,  те,  которые  рассматривал Понселе,  к которым принцип непрерывности применим и имеет значение,  большее  чем  просто индукция. Наоборот, существуют и другие, где он может привести к ошибкам.*

    * чтобы разъяснить на примере сущность разногласий между Коши  и  Понселе, предположим, что в одном геометрическом вопросе доказали, что соотношение между двумя вещественными элементами x,x' таково, что каждому значению одного из элементов отвечает одно значение другого. Если по характеру вопроса ИЗВЕСТНО,  что это соотношение алгебраическое, то можно заключить, что оно будет вида:

      Axx' + Bx + Cx' + D= 4  00; где A,B,C,D - постоянные. Но если НЕИЗВЕСТНО, что соотношение алгебраическое, то  можно представить его бесконечным множеством других форм, например:x' = 7 f 0(x) где 7 f - обозначает функцию,  которая возрастает от -   7до +   7 , когда x возрастает по тому же закону. Таким образом можно принять: x' 4 =  0e 5x - e 5-x 4. 0"  (Г.Дарбу "Принципы аналитической геометрии". ГОНТИ,Л-М.1935 г. стр.9)

     Теперь, когда я отделил алгебру от анализа КАТЕГОРИАЛЬНЫМ  ЧЛЕНЕНИЕМ (не следует смешивать ФИЛОСОФСКИЕ КАТЕГОРИИ с теорией "КАТЕГОРИЙ" в математике), то я обязан указать на те признаки, которыми пользуется философ. Когда мы отождествляем ЛИНИЮ и ТОЧКУ в проективной геометрии, то мы очень точно отделяем их друг от друга в  ТОПОЛОГИИ.  Само  собою разумеется, что  точка  и линия различаются РАЗМЕРНОСТЬЮ: 0-клетка (или 0-симплекс) ни один тополог не спутает с 1-клеткой (или 1-симплексом).

Здесь на смену понятия НЕПРЕРЫВНОСТЬ приходит "связность" или "принадлежность". Точка - это отдельный,  ДИСКРЕТНЫЙ экземпляр.  Линия -  это "связное" множество точек, связанных "принадлежностью" к данной линии.

В этом смысле,  оставшееся неразрешенным противоречие между дискретным и непрерывным  "переоделось" в новое словесное одеяние,  которым будет заниматься уже ТОПОЛОГИЯ.

     Однако это объяснение не будет выглядеть убедительным, если я не смогу использовать подходящего ОБРАЗА.

 

То, о  чем я сейчас рассказываю,  связано с переходом от великого Канта к не менее великому Гегелю.  Кант был последний философ, который считал, что  философия  ДОЛЖНА  учиться у математики "устойчивости или непреходящей ценности своих результатов". Однако в своей "Критике чистого разума"  Кант наткнулся на противоречие в проблеме постижения ИСТИНЫ. По Канту (о чем должен помнить математик) ИСТИНА недостижима,  а ученым (из-за  наличия  АНТИНОМИЙ) предлагается заключать "СОГЛАШЕНИЕ" по поводу принятых АКСИОМ (что у философов носит  название  ПРЕД-ПОСЫЛОК). Соглашение  об  аксиомах или "КОНВЕНЦИЯ" и есть "аксиоматический метод". Послушаем Гегеля, который бывает довольно прозрачен и не лишен чувства юмора:

     "Чистое рассудочное тождество,  выраженное  теоретически  в  виде принципа противоречивости, остается в практической форме тем же самым. Если вопрос:  что есть истина,  заданный логике и получивший ее ответ, составляет для Канта "смешную картину того,  как один  доит  козла,  а другой подставлляет решето"(Кант И.  "Критика чистого разума" Соч.т.3. М.,  1964, стр.159), то вопрос: что есть право и обязанность, заданный практическому  разуму и получивший его ответ,  разделяет судьбу первого". (Гегель Г.Ф.В. "Политические произведения" М.Наука.1978.стр.209).

     Конструктивный вклад Гегеля в  математику  состоит  в  разрешении Кантовской антиномии  о  "дурных  бесконечностях".  Открытый универсум высказываний и является источником кантовских антиномий. Если провести прямую, считая ее аффинной прямой, и отметить ее "начальную точку", то мы получим слева - бесконечную цепочку ПРИЧИН,  а справа – бесконечную цепочку СЛЕДСТВИЙ.

     <<<<─────────────────х──────────────────>>>>

          - причины                                                                                    - следствия

                                                                    рис.1

     Смотри вправо - бесконечность СЛЕДСТВИЙ, смотри влево - бесконеч-

ность ПРИЧИН...

     Именно здесь и появляется Гегель (хотя указание на это можно найти и  у  Фихте,  но исторически "замыкание" совершал с помощью понятия БЕСКОНЕЧНОСТЬ уже Николай Кузанский) - он ОБЪЯВЛЯЕТ,  что будет  рассматривать ТОЛЬКО  ТАКИЕ  причинно-следственные цепочки,  где ПОСЛЕДНЕЕ СЛЕДСТВИЕ есть, одновременно, и ПЕРВАЯ ПРИЧИНА.

     Именно Гегель заметил,  что форма СУЖДЕНИЯ (т.е.  форма грамматического предложения или высказывания) не может быть носителем  ИСТИНЫ.

Традиционный вопрос формальной логики:"Является ли данное высказывание ИСТИННЫМ?" с точки зрения Гегеля не может решаться ОДНОЗНАЧНО, т.е. не может быть однозначным "ДА" или однозначным "НЕТ".  Для людей, считающих возможным получить ответ или "ДА", или "НЕТ" - это должно быть некоторой неожиданностью.  Но в этом нет ничего необычного, если принять во внимание КОНТЕКСТ:  совершенно очевидно,  что такой ответ  возможен ПРИ ОПРЕДЕЛЕННЫХ  УСЛОВИЯХ,  и  является НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ при отсутствии указаний на конкретные условия.  Диалектическая логика требует КОНКРЕТИЗАЦИИ предметных условий,  соответствующих ответу "ДА", и предметных условий, соответствующих ответу "НЕТ".  По отношению  к  утверждениям, выставляемым в  форме  аксиом это означает,  что существует предметная область, где данная аксиома СПРАВЕДЛИВА,  но существует и другая предметная область,  для  которой  является СПРАВЕДЛИВЫМ ОТРИЦАНИЕ этой же аксиомы. И родилось это ПОНИМАНИЕ почти одновременно с появлением  неевклидовых геометрий.  "Конвенционализм"  в  принятии аксиом требуется дополнить установлением ГРАНИЦЫ,  где совершается переход от одной аксиомы к другой.

     Шаг, совершенный Гегелем в философии, совершен Понселе в лекциях по математике (по проективной геометрии),  в русском плену после войны 1812 года в Саратове.

     Аффинная прямая пополняется "НЕСОБСТВЕННОЙ ТОЧКОЙ", превращаясь в проективную прямую.  Последняя, как известно, является ЗАМКНУТОЙ линией, но ОТЛИЧНА от окружности именно наличием "несобственной точки".

     Нарисуем теперь проективную прямую и найдем ее ОТЛИЧИЯ от  аффинной прямой:



     ┌─────────>>>>>>>>───────────х──>>>>>>>>>>> ────────────────┐

     │________________<<<_0  7<<<<<<<<<  0 ____<<<<<<_______________│

                                                           рис.2

     Нетрудно видеть,  что мы получили ОРИЕНТИРОВАННУЮ ПРЯМУЮ,  а "начальная" точка бывшей аффинной прямой уже не является точкой, из которой выходят ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ "ЛУЧА" (понятие "ЛУЧ"  для  ориентированной ПОЛУПРЯМОЙ безнадежно утрачено,  хотя это "ОБРАЗ" !!! НАТУРАЛЬНОГО РЯДА!.),  а точкой, через которую будут проходить ВСЕ проективные прямые.

     Описание проективного  пространства  с  помощью  спиноров  и дает "ДВОЙСТВЕННОСТЬ" ориентации, являющейся следствием "ориентации" проективной прямой.

     Картина на ПЛОСКОСТИ еще интереснее: ВСЕ ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЯМЫЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ,  КОТОРАЯ СЛУЖИЛА "НАЧАЛОМ" В АФФИННОЙ  СИСТЕМЕ КООРДИНАТ! ПЛОСКОСТЬ - "ПРЕВРАТИЛАСЬ" В ПОЛУ-ПЛОСКОСТЬ и стала "односторонней" поверхностью!

     Я не знаю "видел ли" такую проективную  плоскость  Клейн,  но  он назвал только одного человека,  который его ПОНЯЛ по поводу ЕДИНСТВЕННОСТИ точки пересечения проективных прямых.  Клейн по этому поводу писал:

     "Конкретно речь идет об ошибке,  которая постоянно встречается  у Гельмгольца и у многих других. Интерпретируя на сфере неевклидову геометрию с суммой углов треугольника,  большей 7 p 0, они приходят к выводу, что любые две кратчайшиe линии должны пересекаться в двух точках.  Но на проективной плоскости - даже в случае мнимого конического  сечения, взятого в качестве абсолюта,  - любые две прямые пересекаются только в ОДНОЙ точке!  Этот пример показывает, что при интерпретации какой-либо МЕТРИЧЕСКОЙ геометрии на кривой поверхности надо принимать во внимание СВЯЗНОСТЬ последней.  Проективная плоскость имеет необычную связность, которая отличается от связности сферы: она представляет собой ОДНОСТОРОННЮЮ  поверхность,  подобную  листу  Мебиуса,  но при этом она еще и ЗАМКНУТА. Во вполне отчетливом виде эти вещи были высказаны мною только в 1874 г. в переписке со Шлефли (Math. Annalen, т.7, стр.549-550).

     Я мог бы рассказать и о многих других деталях этого сложного процесса, который зачастую бывал отягощен разного рода затруднениями, однако я ограничусь тем,  что было уже сказано.  Эти сражения отражены в соответствующих томах Math.  Annalen (в особенности а  37-м  томе).  И лишь одно  имя мне хотелось бы еще упомянуть здесь - имя Клиффорда.  Я вспоминаю о нем с особой радостью как о человеке, который сразу понял,а вскоре и превзошел меня" (Ф.Клейн "Лекции о развити математики в XIX столетии". М.Наука. 1989 г. стр.175-176)

     Мы указали  на  трудность  создания  "геометрического образа" как проективной прямой, так и проективного пространства. О том, что происходит СКАЧЕК в развитии культуры математического мышления,  это станет почти очевидно,  если я приведу еще  один  отрывок  из  той  же  книги Ф.Клейна:

     "Одной из особенно часто использовавшихся фрацузскими математиками и соверешенствовавшихся ими теорем является теорема о взаимно ортогональных направлениях. Ортогональность двух направлений, будучи вырaжена равенством:

                          7xx 0' 7  0+ 7 hh 0'+ 7 zz 0' = 0,

получающимся поляризацией равенства:

                           7x 52 7  0+ 7 h 52 7  0+ 7 z 52 0 = 0,

с проективной точки зрения представляет собой не что иное, как их гармоничность относительно  сферической  окружности.  Если здесь оперировать, как это делали французы,  с прямыми,  пересекающими  сферическую окружность, то,  казалось  бы,  возникнут противоречия.  В самом деле, пусть для простоты такая прямая проходит через начало кооринат.  Тогда для ее точек выполняется равенство:

                           7x 52 7  0+ 7 h 52 7  0+ 7 z 52 0 = 0,

откуда получается,  что  она как бы перпендикулярна самой себе.  Кроме того, ее длина оказывается равной нулю!

     Из-за этих парадоксальных свойств рассматриваемых прямых Ли в начале своей деятельности (1869-1870 гг.) называл их не иначе,  как "СУМАСШЕДШИМИ  ПРЯМЫМИ".  Позднее  в своих публикациях он называл их более благородным именем  минимальных прямых.  Во Франции за ними закрепилось идущее от Рибокура название  изотропных прямых (droites isotropes); оно основывается на том,  что при любом вращении вокруг  начала  координат две из этих прямых - а именно,  прямые, соединяющие начало координат с циклическими точками плоскости,  перепендикулярной к оси  вращения,  -остаются неподвижными.

     Все эти ошарашивающие факты, касающиеся минимальных прямых, опять таки объясняются неопределенными значениями...

     ...Эти обстоятельства  использовались  французскими  математиками для чрезвычайно  своеобразных  умозаключений,  с помощью которых они с большой легкостью, - "по воздуху", как имел обыкновение говорить Ли, -получали важные геометрические результаты.

  ИССЛЕДОВАТЬ ПРИНЦИПЫ ТАКОГО MЫШЛЕНИЯ ОСОБЕННО РЕКОМЕНДОВАЛ БЫ  ФИЛОСОФАМ,КОТОРЫЕ ЗАЧАСТУЮ ОГРАНИЧИВАЮТСЯ РАССМОТРЕНИЕМ ОДНИХ ЛИШЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТРИВИАЛЬНОСТЕЙ". (Ф.Клейн "Лекции..." стр.164-165).

     Я и использовал эту рекомендацию Ф.Клейна. Вся система Гегеля может быть представлена как ... ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ!

     Гегель начинает первый виток с "несобственой точки", где находятся два понятия: "чистое бытие" и "чистое ничто". Возвращаясь в исходную точку,  он  переходит  на другой виток - СТАНОВЛЕНИЕ,  где рассматривает возникновение и исчезновение. Продолжая наращивать этот "квази-тор" (в нем нет дырки,  а есть общая "несобственная точка", он последний виток этого "квази-тора" - АБСОЛЮТНУЮ ИДЕЮ или АБСОЛЮТНЫЙ ДУХ, - соединяет в первым витком или "началом".

     Эта конструкция Гегеля поражала не только Клейна,  но и Пуанкаре.

В своем отзыве о работах Д.Гильберта на соискание премии Н.И.Лобачевского в 1904 г. он писал:

     "Преобразование должно  удовлетворять  многим  условиям для того, чтобы БЫТЬ ДВИЖЕНИЕМ:

              - во первых,  оно должно быть непрерывным и  пробразовывать две бесконечно близкие точки в две другие,  также бесконечно близкие точки;

              - во вторых, оно должно быть ОДНО-ОДНОЗНАЧНЫМ, т.е. каждая точка плоскости должна иметь одну преобразованную точку и только одну, и быть преобразованной из одной и только одной точки.

     Этими ограничениями  исключаются  очень  многие  группы,   например: группа проективных преобразований и группы гомотетий, т.е. преобразований, изменяющих всякую плоскую фигуру в фигуру гомотетичную.

                               Почему?

     Возьмем, например,  группу гомотетий и увидим, что она содержит и вырождающиеся преобразования,  т.е. такие, для которых при поизвольном центре гомотетии отношение гомотетии равно НУЛЮ или БЕСКОНЕЧНОСТИ.

     Эти вырождающиеся преобразования  НЕЛЬЗЯ  ИСКЛЮЧИТЬ,  потому  что иначе группа не была бы системой ЗАМКНУТОЙ,  но НЕЛЬЗЯ их И СОХРАНИТЬ, потому что они не соответствуют ОПРЕДЕЛЕНИЮ ДВИЖЕНИЯ.

     Подобным же образом видно,  что окружность не может заключать все точки плоскости;  иначе между вращениями вокруг центра этой окружности было бы и такое, которое привело бы к центру точку плоскости, отличную от центра,  так что центр был бы точкой, преобразованной из ДВУХ ТОЧЕК - из этой точки и из себя самого.

     Это подразумевает существование ИНВАРИАНТА, аналогичного РАССТОЯНИЮ.

     Мы видим,  таким образом,  что условия в действительности гораздо более ограничительны, чем это кажется с первого раза.

     По отношению к идеям Ли прогресс,  достигнутый Гильбертом, значителен. Ли  предполагал,  что  его  группы  определяются аналитическими уравнениями.

              Гипотезы Гильберта значительно более общи".

     Фактически в последней аксиоматике Гильберт попадает на гегелевскую конструкцию,  которую в другой своей работе (1887  года)  Пуанкаре назвал "геометрией  однополостного  гиперболоида".  Конструкция Гегеля отличается от конструкции Пуанкаре только тем,  что у тора место "дырки" заполнено ОДНОЙ НЕСОБСТВЕННОЙ ТОЧКОЙ, которая обладает уникальными свойствами:  она  "тождественна"  ПРЯМОЙ  (двойственность  проективной плоскости),  но  она  же эквивалентна ОКРУЖНОСТИ (бесконечно удаленной прямой,  получаемой из северного полюса сферы, опирающейся южным полюсом на плоскость). Сама конструкция "квази-тора" без дырки осуществляется сжатием сферы вдоль оси,  где северный и южный полюс сливаются  с

несобственной точкой.

     Отличие Гегеля от Канта по отношению  к  аксиоматическим  теориям состоит в  том,  что  Кант  довольствуется в аксиоматике ОДНОЙ из двух противоположных аксиом, а Гегель требует ПОЛНОТЫ РАССМОТРЕНИЯ, то есть рассмотривать ДВЕ  ТЕОРИИ,  отличающиеся  друг от друга ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬЮ АКСИОМ.  Но это другое название для того,  что теперь стало известно как теорема Геделя.

     Как АКСИОМЫ,  так и ИСХОДНЫЕ ПРАВИЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ - принимаются БЕЗ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА и не требуют какого-либо "оправдания"  от  конструктора той или иной математической теории.  В конце 1978 года,  еще при жизни Э.В.Ильенкова, я показал ему МЕСТО, где в математике "спрятаны" противоречия: ИСХОДНЫЕ ПРАВИЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ.

     Вот простой пример ТРЕХ ИСХОДНЫХ ПРАВИЛЬНЫХ ФОРМУЛ, которые можно принять или  отвергнуть,  но  любую  из  которых НЕЛЬЗЯ ДОКАЗАТЬ (этот пункт обеспечен моими беседами с П.С.Новиковым, как пример "алгоритмически неразрешимых проблем):

 

1 + 1 = 2;

                              1 + 1 = 1;

                              1 = 1 = 0.

    Поскольку левая и правая части ПО НАПИСАНИЮ  отличаются  друг  от друга, то  мы  имеем дело с алгоритмически неразрешимой проблемой ТОЖДЕСТВА СЛОВ ( в теории свободных групп).

    Эти три формулы мы можем переписать в форме:

                                A = B;                     (1)

                                A = C;                     (2)

                                A = D.                     (3)

    Используя закон исключенного третьего, можно показать, что все эти три формулы можно привести к виду:

                              A = НЕ-A;

                              A = НЕ-A;

                              A = НЕ-A.

    Это нас не смущает и мы используем эти три формулы в РАЗЛИЧНЫХ математических теориях, но... эти три формулы НЕСОВМЕСТНЫ ВНУТРИ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ!

    Именно здесь мы встречаем КАТЕГОРИАЛЬНОЕ различие между знаками

                              >  и  = ;

     Знак строго неравенства к нам пришел из  формализма  натурального ряда, который  включает принцип полной индукции,  как обязательный для КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ.  Только там и только в этом принципе есть утверждение, которое НЕ ВСТРЕЧАЕТСЯ НИГДЕ,  ни в  одной  области  человеческих знаний, КРОМЕ МАТЕМАТИКИ: "НЕПОСРЕДСТВЕННО СЛЕДУЕТ ЗА".

     Какую бы  область жизни мы не взяли - нигде нет так КАТЕГОРИЧНОГО УТВЕРЖДЕНИЯ о непосредственном следовании.  Именно это  утверждение  о "непосредственном следовании" и отличает математику от любых других областей человеческого знания. Число "5" НЕПОСРЕДСТВЕННО СЛЕДУЕТ ЗА числом "4". По отношению к любой паре чисел натурального ряда справедливо  ОДНО И ТОЛЬКО ОДНО УТВЕРЖДЕНИЕ:     либо A > B, либо A < B и никакого ТРЕТЬЕГО БЫТЬ НЕ МОЖЕТ!

     Однако, когда обнаруживаются "числа" МЕЖДУ A и B, в нашем примере между 4 и 5, то мы испытываем ЗАТРУДНЕНИЕ, что существуют числа, которые БОЛЬШЕ чем 4, но они НЕ РАВНЫ числу 5. Наоборот, существуют числа, которые МЕНЬШЕ чем 5, но они НЕ РАВНЫ числу 4.

     Эта ПРОТИВОРЕЧИВАЯ ситуация и выражается в том, что числа БОЛЬШЕ 4, но  МЕНЬШЕ  5,  мы  можем объявить РАВНЫМИ,  то есть для этих чисел справедливо, что:

                    A > 4 и A < 5 - ОДНОВРЕМЕННО!

     Так "рождается" (философски "становится") знак РАВЕНСТВА!

     Как я уже говорил,  в самом начале XIX века два человека Гегель в Германии  и  Понселе в русском плену в Саратове одновременно атаковали проблему БЕСКОНЕЧНОСТИ!  Гегель разрешает антиномию Канта  КОНЕЧНОЕ  - БЕСКОНЕЧНОЕ,  путем замыкания аффинной прямой через бесконечно удаленную точку,  объявляя о рассмотрении только таких ПРИЧИННО-СЛЕДСТВЕННЫХЦЕПЕЙ, в которых ПОСЛЕДНЕЕ СЛЕДСТВИЕ ЕСТЬ, ОДНОВРЕМЕННО, ПЕРВАЯ ПРИЧИНА.  Пополнение аффинной прямой "несобственной" точкой превращает  аффинную прямую в проективную прямую, которая топологически эквивалентна окружности,  но НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПОРОЧНЫМ КРУГОМ из-за наличия  "особенной" точки. Когда математики предлагают "НАЗЫВАТЬ" как "собственные" точки, так и "не-собственные" точки ОДНИМ СЛОВОМ - "ТОЧКИ", то теряется "особенность"  не-собственной  точки,  которая  еще будет доставлять массу неприятностей.

     Примерно в это же время Понселе вводит ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ, которые пополняют обычную евклидому плоскость БЕСКОНЕЧНО-УДАЛЕННОЙ  ПРЯМОЙ. Однородные  координаты  (не смешивать с ПРОЕКТИВНЫМИ координатами Клейна) могут быть представлены как отношения двух чисел:

                                 a/b;

     Полагая a равным ЕДИНИЦЕ, а b равным НУЛЮ, мы получаем точки бесконечно-удаленной прямой.  В современной теории групп (Мерзляков - рациональные группы) вводят термин ПЛЕЙС,  который соответствует  бесконечности, а деля единицу на бесконечность,  получают выражение для НУЛЯ. Пополнение ряда натуральных чисел "квазичислами" НУЛЬ и  БЕСКОНЕЧНОСТЬ лишает числа натурального ряда их свойства "натуральности".

     Если нормальный математик узнает в ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ  ДИАЛЕКТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ, то автор будет более чем доволен результатами настоящего "опуса".

     Однако наличие математического образования не позволяет мне обойти молчанием определенный ЗАСТОЙ В ФИЛОСОФИИ.

     Все знают, что такое утверждение с квантором "ВСЕ" никогда не будет опровергнуто:

                    "ВСЕ тела природы ПРОТЯЖЕННЫ".

     Мы никогда не встретим в природе ТЕЛА, которое не обладает ПРОТЯЖЕННОСТЬЮ.

     Но этому утверждению противостоит другое:  "ВСЕ движения обладают ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ".

     Мы никогда не встретим в природе ДВИЖЕНИЯ,  которое  не  обладает ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ. Отсутствие этой "абсолютной" истины в ФИЛОСОФИИ и лишает возможности отделить Логику РАССУДКА (КАК ЛОГИКУ ТЕЛ) от Логики РАЗУМА (как логики мира ДВИЖЕНИЙ).

     Последнее утверждение еще не  рассматривается,  как  ДВОЙСТВЕННОЕ первому. Отсутствие  такой "расхожей истины" в основаниях философии не дает возможности  расчленить весь мир математики на ГЕОМЕТРИЮ и ХРОНОМЕТРИЮ.  Интуитивное понимание необходимости такого членения ощущается в математической физике,  где "ГЕОМЕТРОДИНАМИКЕ" Уилера,  противостоит "ХРОНОГЕОМЕТРИЯ" Синга.

     Мое предложение состоит в членении математики на ГЕОМЕТРИЮ и ХРОНОМЕТРИЮ. Я хотел бы сохранить термин ВРЕМЯ,  хотя точным математическим аналогом предложенного  был  бы  термин  ГОНИОМЕТРИЯ  (предложение Ф.Клейна, для замены ТРИГОНОМЕТРИИ).

     Мы фиксируем "законы" природы в форме ЦИКЛОВ.  Измерение астрономического времени  связано с понятием "МОМЕНТ",  которое замещает геометрическую "ТОЧКУ" при измерении времени. Момент относится к совмещению одной  из неподвижных звезд с перекрестием телескопа.  Между двумя "моментами" эта звезда находится где-то на окружности,  имеющей МЕРУ в 2 7p 0.  Непрерывность,  которую  невозможно обнаружить в пространственной протяженности (мы знаем сколь не простым оказалось понятие  "континуума",  использовавшегося в качестве фундамента ТОПОЛОГИИ) сама просится в руки в непрерывности течения времени.  Поскольку  автору  уже  давно приходится  пользоваться  в прикладной области "МНОГОМЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ", которое никак не может быть сведено к "МНОГОМЕРНЫМ ПРОСТРАНСТВАМ",  то такое членение математики может оказаться ПОЛЕЗНЫМ.

     Здесь мне хотолось бы показать,  что именно ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ обеспечивает эту СВЯЗЬ геометрии и хронометрии (гониометрии).

     Постоянная скорость движения по ПРОЕКТИВНОЙ  ПРЯМОЙ обеспечивает переход от ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ к ПОСТОЯННОМУ УСКОРЕНИЮ, трудность, не преодолев которую математическая физик останется лишенной РАЗВИТИЯ.

     Но я  полагаю,  что  и математика должна ОЧИСТИТЬСЯ от физических терминов.  Здесь справедливо правило:"ПРЕЖДЕ  ЧЕМ  ОБЪЕДИНЯТЬСЯ,  НАДО РАЗМЕЖЕВАТЬСЯ". Современная литература по математической физике представляет собою ужасную смесь "французского с нижегородским".

     Само собою разумеется, что МЕРЫ в геометрии и хронометрии существенно РАЗЛИЧНЫ,  что приводит к недоразумениям по поводу различия  используемых ЕДИНИЦ.

     Единицы измерения пространственной протяженности порождаются  рядом: длина, площадь, объем, ...

     Единицы измерения временной длительности,  задаваемые через понятие УГОЛ,  живут своей собственной жизнью от плоского угла к трехгранному и вообще к n-гранному углу. И единица здесь ведет счет от Эйлера:

                               e 52 7З 5i 0 = 1.

     Возможность объединять для характеристики различных видов  движения в  физике различные степени ДЛИНЫ и различные УГЛЫ (степени ВРЕМЕНИ) - дает основание для  СИСТЕМЫ  ФИЗИЧЕСКИХ  ВЕЛИЧИН,  которая  была предложены автором совместно с Р.О.ди Бартини.[1]

     Оставляя для физики  МИР ДВИЖЕНИЙ мы должны дать ему ИМЯ. Поскольку все  возможные  соотношения между размерностью ДЛИНЫ и размерностью ВРЕМЕНИ можно найти в КИНЕМАТИКЕ (Бартини называл свою таблицу -  системой КИНЕМАТИЧЕСКИХ  величин),  то  эта область будет называться так, как ее в 1716 году назвал Герман (Hermann), а именно: ФОРОНОМИЯ.

     Если термин  "хронометрия" режет слух,  то логично представить ВСЮ МАТЕМАТИКУ,  как два раздела с существенным качественным различием: ГЕОМЕТРИЯ и ГОНИОМЕТРИЯ.  Это позволит в конструкции проективной плоскости соединить ДИСКРЕТНОЕ с НЕПРЕРЫВНЫМ, КОНЕЧНОЕ с БЕСКОНЕЧНЫМ, ПРЯМОЕ и КРИВОЕ.

     О простой связи алгебры и проективной геометрии говорить абсолютно излишне.  Однако, я хотел бы обратить внимание на то, что "алгебра"углов - это алгебра унионов, введенная автором совместно с С.Б.Пшеничниковым [2].

     Настоящее сообщение можно рассматривать как физико-математические основы ПРОЕКТОЛОГИИ, публикация которой предпринята журналом "2010".

     Исходные положения этого научного направления были изложены автором в приложении к книге Е.А.Александрова "Основы теории эвристических решений" М. Сов.Радио.1975 г.[3] Прошедшие два десятка лет убедительно показали, что ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА нуждается в знании фундаментальных основ математики много более серьезном, чем авторы некоторых математических "прикладываний", напоминающих метод знаменитого Прокруста.

Р.О.Бартини, П.Г.Кузнецов "Множественность геометрий  и  множественность физик".  В  сб."Моделирование динамических систем". Брянск.  1974.  с.18-29. В сб. "Проблемы и особенности  современной научной методологии". Свердловск. 1979. с.55-65.

П.Г.Кузнецов, С.Б.Пшеничников. "Спинорный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений".  ДАН. 1985. т.283.N5. стр.1073.

П.Г. Кузнецов "Искусственный интеллект и разум  человеческой  популяции", в кн.:Е.А.Александров "Основы теории эвристических решений", М., Сов.радио, 1975 г.