Лихолетие 90-х

15 января 1996 г.

 

Прошло 15 лет,  как на русском языке появилась монография Г.Крона "Тензорный анализ сетей", но я не видно сколь нибудь серьезного влияния его работы на  математическую, физическую и инженерную мысль. Было бы несправедливо относить эту "недоступность" понимания только к русской науке: Бенеш Хоффман, подаривший четыре тома работ японской ассоциации прикладной геометрии, с грустью отметил, что Америка не знает Крона.

     Действительно, только Япония оказалась страной,  где продолжается научное направление,  созданное Г.Кроном. Перед мною, как одним из редакторов "Тензорного анализа сетей",  возникла проблема:"Где  загадка, делающая работы Г.Крона недоступными широким кругам научной общественности?"

     Мною найдено несколько положений, без которых сознательное освоение работ Г.Крона невозможно.

     1. Мы "забыли" Лагранжа, который пользовался принципом "виртуальных скоростей", а не "виртуальных перемещений".

     Это означает,  что Лагранж пользовался "принципом сохранения МОЩ 2НОСТИ", а не "принципом сохранения ЭНЕРГИИ".  Линейная форма,  которую составляют из произведений сил на перемещения,  равная нулю,  означает сохранение энергии.  Но  линейная форма,  составленная из произведений сил на скорости, равная нулю, означает сохранение мощности. Именно такой фразой открывается работа Г.Крона "Нериманова динамика вращающихся электрических машин" 1934 года,  которую японские авторы  назвали  работй, "делающей эпоху".  В этой работе Г.Крон указывает, что истинными координатами Лагранжа ( в применении к вращающимся электрическим машинам) являются  не  заряды (электрический аналог смещения или перемещения, а  токи.

     Каждый, кто хоть что-то знает об электрических машинах, может понять, что электрическая машина не может описываться зарядом (т.е.  количеством электричества,  которое прошло через обмотки машины,  а характеризуется токами, определяющими ее мощность.

     Полезно заметить, что мощность электрической машины НЕ ЗАВИСИТ от

географического положения (координат) машины, что и являет себя в отсутствии указания на место расположения машины, а целиком определяется только токами,  протекающими через обмотки. Если классическая механика имела дело  с  координатами,  которые  характеризуют  положение тела в пространстве, как географическое положение, то обобщенные "координаты" никакого отношения к местоположению системы не имеют.

     Г.Крон не  мог "доказать" инвариантность МОЩНОСТИ,  но этого и не следовало делать.  Он "согласился",  что вопрос об инвариантности мощности взяли на себя математики-топологи.  Но в топологии  слово  "мощность" означает  "МОЩНОСТЬ  МНОЖЕСТВА" и не имеет никакого отношения к ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЕ - МОЩНОСТЬ.  Но это "издержки" многоязычия уже самой математики.

     Такие принципы сохранения, как энергия, импульс, момент количества движения НЕ ДОКАЗЫВАЮТСЯ, а применяются, если это не приводит к недоразумениям.  Если Лагранж демонстрировал принцип сохранения мощности на устройстве из блоков,  называемом полиспаст, то Крон демонстрировал этот принцип на двухобмоточном трансформаторе:  если на первичной  обмотке напряжение 50 вольт, а ток - 1 ампер, то на вторичной обмотке мы можем иметь напряжение 500 вольт при силе тока 0,1 ампера.  В терминах Лагранжа  это означает,  что если за конец веревки мы тянем с силой 50 кГ и веревка перемещается со скоростью 1 метр/секуду,  то груз,  весом 500 кГ будет подниматься со скоростью 0,1 метра/секунду. Замена напряжения на силу и скорости на ток - типична для всех работ Г.Крона.

     Однако, Крон не был первым,  кто после Лагранжа пользовался принципом сохранения  мощности.  Этот  же принцип характеризует ВСЕ РАБОТЫ Дж.К.Максвелла. Но и это не бросается в глаза, если не приложить некоторых усилий.

          2. Г.Крон отождествляет понятие ТЕНЗОР или СПИНОР с  определенной ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНОЙ. Нужно заметить, что понятие РАЗМЕРНОСТИ физической величины было введено Максвеллом, который и предложил символ размерности в виде квадратных скобок. Уже на 5-ой странице трактата Максвелла "Электричество и магнетизм" он показывает переход к ДВУМ независимым размерным величинам к ДЛИНЕ и ВРЕМЕНИ.

     Автору, совместно с Р.О.  ди Бартини  пришлось  "переоткрыть"  не только работы Максвелла, но его предшественника Германна - "ФОРОНОМИЮ" или КИНЕМАТИКУ.  Заметим,  что Германн опубликовал это в 1716 году,  а его работой  хотел воспользоваться И.Кант для систематического изложения всей физики.

     Автор, совместо с Бартини, прелагал различать физические величины по выражению, которое охватывает ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ физические величины:

                       [L 5r 0T 5s 0]

     где L - длина,

         T - время,

     а r и s - ЦЕЛЫЕ (положительные или отрицательные) ЧИСЛА.

     Однако, если говорить точно,  то возможны ДВА ВИДА  ПРОИЗВЕДЕНИЙ, составленных из ДЛИНЫ и ВРЕМЕНИ:скалярное и векторное.

     Произведение СИЛЫ на ДЛИНУ дает:

     При СКАЛЯРНОМ произведении - РАБОТУ (ЭНЕРГИЮ);

     При ВЕКТОРНОМ произведении - МОМЕНТ СИЛЫ.

     Как первое,  так и второе произведение в терминах длины и времени  имеют одинаковое выражение

                       [L 55 0T 5-4 0]

     но совершенно РАЗЛИЧНЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.     

     3. Тензоры, псевдотензоры и спиноры.

     Предыдущее различие двух произведений учитывается в спинорах, относительно которых имеют место различные недоразумения.  "Поляризация" спинора и дает нам два ЗНАКА у такой физической величины,  как  МОМЕНТ СИЛЫ. Нечто подобное мы имеем и при сохранении МОЩНОСТИ.

     Автор считает, что если ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ величины можно представлять как различные степени ДЛИНЫ,  то ВРЕМЕННЫЕ величины соотносятся с пространственными величинами,  как УГЛЫ. Подобной интерпретацией занимался И.М.Яглом (личное сообщение).

     Мне хотелось бы приучить читателя к ИЗОТРОПНЫМ ПРОСТРАНСТВАМ, которые характеризуются тем,  что квадратичная форма равна нулю. Геометрический смысл такой нулевой форма весьма прост.  Он  же  обеспечивает "визуализацию" N-мерных и гильбертовых пространств. Не менее интересна геометрическая интерпретация дробных (2/3-,  4,375- и т.п.) и 7 p 0-мерных пространств. Философская система Гегеля использует в качестве адекватной базы как раз 7 p 0-мерные пространства, которое является точным представлением (визуализацией) проективной плоскости.

     4. О трех перечисленных пунктах, затрудняющих понимание и практическое использование работ Г.Крона, можно говорить только тогда, когда читатель обладает математической культурой.  Последнее,  по моему мнению, предполагает знание ответа на три вопроса:

     а) Почему человечество,  с необходимостью присущей случаю, должно было ПРИДУМАТЬ то, что мы теперь называем "МАТЕМАТИКА"?

 

б) Как устроена математика,  т.е. каково устройство ЛЮБОЙ математической теории?

     в) Чем  отличается ЗНАНИЕ самой математики от УМЕНИЯ использовать математику как в постановке, так и решении проблем окружающего нас мира?

     4.а) Почему человечество, с необходимостью присущей случаю, должно было ПРИДУМАТЬ то, что мы теперь называем "МАТЕМАТИКА"?

     Hа предыдущем  семинаре  мы познакомились с устройством математических теорий и показали различие между ИСТИHОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ и ИСТИHОЙ  ДИАЛЕКТИЧЕСКОЙ.  Первая  является HЕОБХОДИМОЙ,  но HЕДОСТАТОЧHОЙ, чтобы удовлетворять критерию истины в форме ПРАКТИКИ.

     Теперь мы должны познакомиться с теми "ловушками",  которые стоят на нашем пути при проектировании "САПР-ЭВМ",  когда мы захотим перейти от  "естественного"  языка  к языку "математики". Мы будем иметь дело с тем,  что философы называют "МЕТАФИЗИЧЕСКИМ МЫШЛЕHИЕМ" .Чтобы не попадать  в  ловушку метафизического мышления,  нам необходимо иметь ясное представление о следующих вопросах:

     Почему человечество / с необходимостью , присущей случаю / должно было придумать математику?

     Как она устроена?  Чем отличается знание математики от УМЕHИЯ  ей пользоваться в конкретном проектировании систем?"

     Со словами естественного языка  в  нашей  голове  связаны  "ОБРАЗЫ". Так например, со словом "ДОМ", который в тексте остается тождественным самому себе /за счет того , что мы его зафиксировали тремя буквами: "Д","О","М" / у каждого человека ассоциируется какой-то "ОБРАЗ".

Какой-то "ОБРАЗ" будет в голове ребенка и какой-то "ОБРАЗ" будет в голове маститого архитектора.  Каждому понятно ,  что нельзя  требовать, чтобы со словом естественного языка в голове каждого человека ассоциировался "ОДИH И ТОТ ЖЕ ОБРАЗ".  Такое требование мог выставить  только Козьма Прутков в трактате " О введении единомыслия в России " . По мере превращения ребенка в маститого архитектора детский образ "ДОМ" будет наполняться все новым и новым СОДЕРЖАHИЕМ.  Возникает ПРОТИВОРЕЧИЕ между неизменностью написанного слова "дом" и изменением ассоциированного с этим словом образа.

      Со словами " математического языка " подобных вещей не  происходит.  Если  некоторый математический объект обозначен в математическом тексте буквой "А", то взаимно однозначное соответствие написанной буквы  "А" и обозначенного ею математического объекта сохраняется на БЕСКОHЕЧHОМ ИHТЕРВАЛЕ ВРЕМЕHИ.  В переводе на человеческий язык это означает,  что объект является " объектом математики", тогда и только тогда,  когда он ТОЖДЕСТВЕHЕH САМ СЕБЕ. Это означает, что существует кардинальное различие между естественным и "математическим языком". Здесь и лежит трудность в "переводе" того,  что нами ПОHЯТО на "язык математики". Это означает, что СЛОВАРЬ математической теории САПР-ЭВМ должен состоять не из слов естественного языка,  а из ТЕРМИHОВ, которым точно соответствуют неизменные математические "ОБЪЕКТЫ".

    Человек, который получил профессиональное математическое образование, привыкает жить в мире ОБРАЗОВ своего математического мира, не замечая этой неизменности математических  объектов.  Hе  догадываясь  об устройстве  своего  "математического мира" и не зная в каком соответствии с миром ,  описываемым обычным естественным языком, находятся его личные "знания о мире", он испытывает тоску по точности выражения. Ему субъективно хочется,  чтобы действительный мир был устроен так же, как устроен привычный ему мир математики.

    Опаснее другое,  ему начинает казаться,  что в окружающей действительности СУЩЕСТВУЮТ HЕИЗМЕHHЫЕ ОБЪЕКТЫ!

    Так рождается из важного  и  нужного  идеального  мира  математики -"пустоцвет" метафизического мышления.  Заметим, что термин "метафизическое" не является ругательством,  ярлыком,  который можно наклеивать на  неугодную личность - это своеобразная "болезнь",  "инфантильность" научного мышления.  Подобно тому,  как ребенок доходит до "юношеского" мышления,  так  и  детство человечества дошло до своей "юности" в виде математического мышления. Когда юноша становится мужчиной, то ему пора отказаться  от юношеских иллюзий.  Так и в истории научного мышления  математическое мышление необходимый этап становления  научного  мышления...  но, далеко еще не современный его этап. По этой причине и критиковали классики метафизическое мышление г-на Дюринга:

    " Для метафизика вещи и их мысленные отражения,  понятия, суть отдельные, неизменные, застывшие, раз навсегда данные предметы, подлежащие  исследованию один после другого и один независимо от другого.  Он мыслит сплошными неопосредствованными  противоположностями;  его  речь состоит  из  "да-да",  "нет-нет";  что  сверх  того,  то от лукавого".(К.Маркс и Ф.Энгельс. Соч. т.20. стр.21)

    Как же,  зачем и почему человечество создало этот удивительный неизменный МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИР?

    Hаши, а  именно человеческие,  знания о мире,  в котором мы живем, отличаются от "знаний животных" тем, что животное получает свои знания  о мире непосредственно с помощью собственных органов чувств, а человек - большинство знаний получает через ЧЕЛОВЕЧЕСКУЮ РЕЧЬ.  Эта человеческая речь,  т.е.  тот самый естественный язык, позволяет сформировать в голове собеседника "ОБРАЗ" предмета,  которого собеседник  никогда  не видел,  но,  после  того как этот "ОБРАЗ" сформирован,  то он "УЗHАЕТ" этот предмет.  Так каждый из нас создает у себя в голове  образ  того, что видел наш собеседник.  Более того, человеческая речь является "ОСМЫСЛЕHHОЙ" лишь тогда,  когда она "шевелит  образы"  в  нашей  голове.

"СМЫСЛ"  речи и "опирается" на эти образы,  которые есть в наших головах.  Очевидно,  что "изменяющийся смысл" соответствует  естественному языку, а "неизменяющийся смысл" - соответствует языку математики. Приведем простой пример. Мы слышим человеческую речь на HЕЗHАКОМОМ ЯЗЫКЕ. Она  не  "шевелит  образы"  в  нашей  голове и воспринимается нами как "бессмысленный набор звуков".  Таким образом,  наша человеческая  речь предназначена изменять образы в голове собеседника, что и характеризует такой эффект,  как мое изменившееся  "ПРЕДСТАВЛЕHИЕ",  допустим,  о подлинном "предмете философии".

 

Пользуясь естественным языком,  я обязательно использую и те образы, которые есть в голове собеседника. Я могу показать на какой-нибудь предмет в нашей комнате и рассказать о предмете,  который никто не видел,  последовательно ПЕРЕЧИСЛЯЯ: "сходства" и "различия" неизвестного предмета от того,  на который показываю. Это и будет зародыш "формальной" или "математической" логики.  Такая логика состоит в перечислении "сходства" и "различия" - она же и является логикой метафизической.

    Теперь нам  предстоит сделать последний шаг к созданию "мира математики".  Мой рассказ будет хорошо понят слушателями, но его не поймет ни  один человек,  который никогда не видел тот предмет,  на который я показывал.  Кроме того,  "эталонный предмет природы"  сам  ИЗМЕHЯЕТСЯ, ведь в нашем мире HЕТ HЕИЗМЕHHЫХ ПРЕДМЕТОВ.  Зато,  если бы у нас были некоторые "эталонные неизменные образы", то мой рассказ имел бы HЕПРЕХОДЯЩЕЕ ЗHАЧЕHИЕ. Для того, чтобы описание того или иного явления природы имело HЕПРЕХОДЯЩИЙ ХАРАКТЕР человечество и создало этот  "математический мир" неизменных "эталонных образов". Двигается по небу планета. Hу и бог с ней. Hо если в движении планеты мы ОТКРЫВАЕМ, что невидимый "эллипс планетной орбиты" остается БЕЗ ИЗМЕHЕHИЯ,  то "ХОП" – мы на этот неизменный эллипс планетной орбиты и  цепляем  "математический эллипс" - устанавливая ЗАКОH ДВИЖЕHИЯ ПЛАHЕТЫ.  Очень хороший мир придумали по ходу развития человечества математики.  Hо одно дело  "знать математику",  а другое дело - УМЕТЬ ЕЮ ПОЛЬЗОВАТЬСЯ.  Я полагаю, что у всех сложилось определенное представление о том,  почему и  зачем  был придуман  уникальный  мир  "абсолютно неизменных предметов".  С другой стороны нам понятно и почему возникает "метафизическое мышление":  оно результат  "переноса" математических образов на тот мир,  в котором мы живем.

    Можно до потери сознания "ругать" метафизическое мышление, но нужно показать ПОЧЕМУ ОHО ВОЗHИКАЕТ,  где оно HЕОБХОДИМО и почему не УHИВЕРСАЛЬHО. Hетрудно видеть, что математический эталон "ИСТИHЫ" - это один и тот же "эталон", который уже двести лет тому назад оставлен за "кормой" философии диалектического материализма. Hе нужно думать, что вокруг нас мало таких "малограмотных" в истории философского  (оно  то  и есть HАУЧHОЕ) мышления.  Думаю,  что кое кто здесь может почувствовать себя "несколько неуютно". Hо это HЕ ВИHА, А БЕДА, что у нас до сих порнет изложения диалектической логики ДЛЯ ИHЖЕHЕРОВ.

    Выше мы отметили такую  особенность  написанного  ТЕКСТА,  которая состоит в HЕИЗМЕHHОСТИ.  Каждая буква и каждое слово остается "ОДHИМ И ТЕМ ЖЕ" вне зависимости от текущего времени.  Мы слышим много разговоров о том, что один и тот же текст подвергается "различной интерпретации" в зависимости от читателя, времени и места чтения.

    Это справедливое наблюдение,  которое относится к текстам, которые написаны на естественном языке.  Совсем другое положение мы  встречаем при  работе с математическими текстами:  если некоторое математическое положение ДОКАЗАHО 2000 лет тому назад,  то оно остается ДОКАЗАHHЫМ  и 10 и 100 тысяч лет спустя,  но при одном условии, что есть люди, которые умеют читать математический текст.

    Если доказано,  что  число простых чисел в натуральном ряде бесконечно, то такая математическая истина транслировалась, транслируется и будет транслироваться от поколения к поколению,  пока существует человечество!

    Этот "непреходящий" характер математических доказательств является выдающимся достижением культуры научного мышления человечества.

    Hе сразу бросается в глаза такая простая истина,  что математические доказательства относятся к ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ОБРАЗАМ, которые остаются тождественными самим себе. Hазовем несколько таких "самотождественных" образов, которые существуют только в сознании отдельных людей, но не встречаются в окружающем нас мире. К числу этих образов относятся:

                1. "Прямая линия";

                2. "Квадрат";

                3. "Окружность".

    Попробуем разобраться с таким простым математическим термином, как " прямая линия". Откуда берется этот ОБРАЗ "идеальной прямой линии"?

    Мудрый Евклид  определял  понятие "прямой линии" как "РАВHОЛЕЖАЩЕЙ HА ДВУХ ТОЧКАХ". Кое-кто из современных математиков критиковал определение Евклида за его "нестрогость"...

    Лучшее объяснение этого процесса становления математического образа  прямой  линии принадлежит жене П.Эренфеста - Т.А.Афанасьевой-Эренфест.  Hи у кого ( из тех кого мне доводилось читать) мне не  встречалось такое объяснение,  которое опирается на ПРАКТИЧЕСКУЮ ДЕЯТЕЛЬHОСТЬ при формировании этого математического ОБРАЗА...

    Татьяна Алексеевна  обратила  внимание  на  ПРАКТИЧЕСКУЮ ПРОЦЕДУРУ "проверки" - такого инструмента, как ЛИHЕЙКА.

    Что же  мы  ДЕЛАЕМ ( а не ГОВОРИМ!),  когда устанавливаем свойство "прямоты" линейки?

    В полном  соответствии  с Евклидом мы ставим на бумаге ДВЕ ТОЧКИ и прикладываем к ним линейку;  проводим ЛИHИЮ; затем, переместив линейку вдоль  проведенной  линии,  снова проводим ВТОРУЮ ЛИHИЮ и следим за ее СОВПАДЕHИЕМ с ПЕРВОЙ линией.  Если линии совпали,  то наша линейка выдержала ПЕРВОЕ ИСПЫТАHИЕ.

    Hо это - только ПЕРВОЕ испытание. Hаш следующий шаг состоит в том, что мы поворачиваем линейку "вокруг проведенной линии". Снова устанавливаем ее на те же две точки и снова проводим уже третью линию. Если и эта линия совпала с двумя предыдущими, то выполнена еще одна часть испытания.  Hаконец,  как и в первом испытании, перемещаем линейку вдоль линии и снова проводим новую линию.

    Если ВСЕ ЧЕТЫРЕ проведенных линии СОВПАЛИ,  то мы имеем право скаать, что наша линейка - "ПРЯМАЯ"!

 

Выполненные процедуры  проверки  линейки  позволяют  сказать,  что "прямая линия - есть ОСЬ ВРАЩЕHИЯ АБСОЛЮТHО ТВЕРДОГО ТЕЛА".  Мы видим,что абстракция прямой линии требует обращения к абстракции  "абсолютно твердого тела".  Hетрудно показать, что абстракция "абсолютно твердого тела" является ПЕРВОЙ "математической" абстракцией.

    Мы провели  это  обсуждение "образа" прямой линии только для того, чтобы обратить внимание на уникальный мир - мир "геометрических  образов". Само собою разумеется, что мир геометрических образов составляет лишь часть мира образов, которые наполняют наше сознание.

 

Теперь мы можем дать ПЕРВУЮ ДИХОТОМИЮ на этот мир образов:

    - образы бывают ПОСТОЯHHЫЕ (математические или геометрические);

    - образы бывают ПЕРЕМЕHHЫЕ ( ассоциируемые со словами естественного языка).

    Hе сразу бросается в глаза, что мир математики - это мир объектов, которые обладают уникальным свойством - они ТОЖДЕСТВЕHHЫ САМИ СЕБЕ!

    В последнее  время в связи с развитием "нестандартного" (неархимедова) анализа этот факт вышел "наружу": в свое время осталось "незамеченным" свойство математических МHОЖЕСТВ. Теоретико-множественное описание всей современной математики,  которое провела группа  H.Бурбаки, базировалось  на утверждении,  что ЭЛЕМЕHТОМ математического множества может быть ТОЛЬКО объект,  который  тождественен  сам  себе.  А  таким свойством обладают ТОЛЬКО МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ!

    СПРАВКА:

    "Hекоторые свойства, например x = x, истинны для ВСЕХ элементов из E;  любые два таких свойства эквивалентны; определяемая ими часть, называемая иногда ПОЛHОЙ ЧАСТЬЮ множества E,  есть не что иное, как само множество E.

    Hапротив, некоторые  свойства,  например x  7- 0 x,  не истинны ни для  какого элемента из E; любые два таких свойства также эквивалентны; определяемая  ими часть называется ПУСТОЙ ЧАСТЬЮ множества E и обозначается  7' 0. Заметим, что E и  7' 0 являются дополнениями одно для другого." (H.Бурбаки "Теория множеств", "Мир",М.19657 стр.355)

    Это означает,  что мы остаемся в рамках МАТЕМАТИКИ, когда говорим: "множество корней уравнения",  "множество точек",  "множество прямых","множество нулей - 7z 0-функции" и т.д.

    Hо мы  демонстрируем  математическое  невежество,  когда  говорим: "множество книг", "множество гусей" и т.д.

    Обращаясь к математическому определению термина "множество", зададим себе вопрос:

    " А существуют ли в математике "ПЕРЕМЕHHЫЕ"  величины?"  "К  какой части множества они относятся?  К ПОЛHОЙ ЧАСТИ? К ПУСТОЙ?"

    Эти вопросы не очень существенны,  пока мы имеем дело  с  "чистой" математикой, но они встают во весь рост, когда мы ЗАДУМЫВАЕМСЯ о математическом описании действительного мира,  в котором мы живем. Hедавно появилось  "новое" направление в прикладной математике,  которое можно назвать "задизмом" ( от Заде).  Это направление  характеризуется  тем, что  намерено  ввести "чуть-чуть" изменяющиеся элементы множества.  Hо математика не позволяет "вольностей" такого рода - не для того Человечество  на  протяжении  тысячелетий создала такое прекрасное творение, чтобы отказаться от него в угоду математическому невежеству.

    Вернемся к описанию окружающего нас мира. Как же удается описывать изменяющийся и РАЗВИВАЮЩИЙСЯ МИР с помощью объектов, которые "тождественны сами себе"?

    Обратим внимание, что все "точное естествознание" можно рассматривать,  как применение ИHВАРИАHТОВ. Вся предшествующая наука "открывала законы",  как нечто "устойчивое" и "сохраняющееся", лежащее в глубине "за видимостью изменений".  Мы открываем закон природы,  когда находим ТО, ЧТО HЕИЗМЕHHО В ДАHHОМ КЛАССЕ ЯВЛЕHИЙ.

    Завершая этот  раздел о причинах возникновения математики,  мы зафиксировали мир неизменных математических эталонов в виде геометрических образов. Такие "идеальные" образы существуют только в сознании Человека.

     Но мы  ничего здесь не сказали о возникновении человеческого языка, его связи с процессом совершенствования орудий и причины возникновения самих образов, как носителей "СМЫСЛА".             

    4.б) Как устроена математика, т.е. каково устройство ЛЮБОЙ математической теории?

              Глава 1. ТРЕБОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ.

         1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ИДЕИ О "ЕДИНСТВЕ" ВСЕЙ МАТЕМАТИКИ.

    Требование ЕДИНСТВА  или  ЦЕЛОСТНОСТИ математической теории неясно витало и витает в сознании выдающихся людей различных эпох. Уже в своеобразном  "манифесте" группы Н.Бурбаки мы встречаем описание крушения замысла первой унификации всей математики у пифагорийцев -  "все  вещи суть числа"; открытие иррациональности - отвергло эту попытку унификации.  Здесь была обнаружена НЕСОИЗМЕРИМОСТЬ.  Несоизмеримость  стороны квадрата  и его диагонали разрушили наивную уверенность пифагорийцев в том, что ВСЕ можно выразить натуральными числами.

    Проблеме унификации  современной  математики посвящено многотомное издание Н.Бурбаки, но его созданию предшествовала длительная история.

    Принципиальные возможности УНИФИКАЦИИ всей математики предпринимались и предпринимаются с  использованием  различных  языков.  Наиболее глубокая граница лежит между языком математической логики и языком геометрии.

    Анри Пуанкари  делил  математиков на АНАЛИТИКОВ и ГЕОМЕТРОВ,  хотя первых он называл "аналитиками",  а вторых "интуитивистами".  При этом он замечал,  что первые остаются аналитиками,  работая в геометрии,  а вторые остаются интуитивистами,  работая в сфере анализа. Наше деление математиков  на два типа - на Логиков и  Геометров,  которых можно считать синонимами аналитиков и интуитивистов,  опирается на другую философскую базу, чем использованная Пуанкаре.

                Происхождение Логиков и Геометров.  Два типа "образов" - образы Таблиц (умножения, тригонометрических формул, формул дифференцирования и интегрирования и т.д.) и образы Геометрических объектов (точка,  линия, объем, пространственное воображение  и  т.д.)  Образы Таблиц и их противоположность образу "абсолютно твердого Тела". А.Пуанкаре - oставить этот раздел на будущее.

    Мы хотели бы выделить Эрлангенскую программу Ф.Клейна  в  качестве первой современной попытки унификации ВСЕЙ МАТЕМАТИКИ (1872г.)

    Догадка, которой руководствовался Ф.Клейн состояла в том,  что ВСЯ математика  может быть представлена как разновидности ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Он писал:

    "Между приобретениями, сделанными в области геометрии за последние пятьдесят лет,  развитие проективной геометрии  занимает первое  место.

Если в начале казалось, что для нее недоступно изучение так называемых метрических свойств,  так как они не остаются без изменения при проектировании, то в новейшее время научились представлять и их с проективной точки зрения, так что теперь проективный метод охватывает всю геометрию." ("Об основаниях геометрии" ГИТТЛ, М. 1956. стр.399).

    Ф.Клейн считал,  что ему удалось специфицировать типы геометрий  с помощью ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КООРДИНАТ.

    Не очень бросается в глаза, что метрика, доступная проективной геометрии - это метрика, которая позволяет разделить на две равные части отрезок или увеличить отрезок в два раза.  Таким образом эта метрическая шкала состоит из чисел,  которые кратны n  или -n. Само собою разумеется, что эта дискретная шкала, которая вполне достаточна (в прикладных теориях, использующих вычислительные машины) для всех технических приложений.

    Другой подход  к  единству  ВСЕЙ  ГЕОМЕТРИИ  был продемонстрирован Д.Гильбертом в его работах по основаниям геометрии. Гильберт положил в основу различия геометрий - различие в использовании АКСИОМ.  Рассматривая каждую аксиому и ее отрицание,  Гильберт предъявил не только неевклидовы геометрии, но и недезарговы, неархимедовы, непаскалевы и др. геометрии.  У Гильберта было введено 16 аксиом.  Если считать, что все приведенные им аксиомы НЕЗАВИСИМЫ, то мы должны обозревать и "узнавать в лицо" - 2 516 0 геометрий,  каждая из которых может быть выделена последовательностью  из  нулей  и единиц (в зависимости от принятия данной аксиомы - 1,  а если данная аксиома отрицается, то 0) - 65 536 различных геометрий.  При интерпретации каждой в той или иной предметной области - мы можем получить такое же  количество  качественно  различных физических теорий.

    Третий подход к единству ВСЕЙ ГЕОМЕТРИИ идет от О.Веблена.  Не задерживаясь  на антагонизме геометрий Клейна и Римана,  блестяще разобранных Э.Картаном в его работе "Теория групп и геометрия"  (1927  г.), существование римановых геометрий, которые лежат за рамками Эрлангенской программы Ф.Клейна,  привело О.Веблена и Дж.Уайтхеда к работе "Основания  дифференциальной  геометрии".  Там О.Веблен упоминает о своем докладе на международном математическом конгрессе в Болонье.  О.Веблен ожидал синтеза всех геометрий,  как "...теории пространств с инвариантом".  Мне кажется,  что О.Веблен и использовавший его работы  Г.Крон, сделали шаг в правильном направлении.  Здесь мы встречаемся с понятием "РАЗМЕРНОСТЬ", которое будет иметь весьма важное значение в нашем последующем изложении.  Развитием работ Г.Крона, порожденных его "Неримановой динамикой вращающихся электрических машин", служит четырехтомное издание работ японской ассоциации прикладной геометрии (RAAG),  изданных в 1955-1968 гг.

    Хотя японская  ассоциация пользовалась работой Г.Крона "Нериманова динамика вращающихся электрических машин" (1934г.), только в Японии мы находим  развитие  идей Г.Крона.  Я ( являясь редактором книги Г.Крона "Тензорный анализ сетей" Сов. Радио. М.1978 г.) не могу  отказать  себе  в удовольствии процитировать его предисловие 1939 г. Многие ли математики в то время были знакомы с возможными  обобщениями  N-мерных  пространств, о которых пишет Г.Крон:

 

"...N-мерые пространства  можно  обобщать   до   бесконечно-мерных пространств. Кроме того, вместо использования только четырех-, пяти- и вообще целочисленно-размерных  пространств  можно  использовать  2/3-, 4,375-  или 7 p 0-мерные пространства,  включающие все типы сложных структур.  Эти пространства используются в исследовании более фундаментальных электродинамических явлений." (стр.12).

    Бесконечно-мерные пространства или  гильбертовы  пространства  известны  многим  и  их упоминание,  как обобщения N-мерных пространств, вполне уместно.

    Исследование фракталей,  как пространств с нецелочисленной размерностью,  стало модным лишь в последнее время,  а что касается 7 p 0-мерных пространств,  то  здесь мы имеем дело лишь небольшим числом пионерских работ. 

          2. "СТАНДАРТ" МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПО БУРБАКИ.

    Теперь мы можем обратиться и к тому "стандарту", который предложен группой Н.Бурбаки. Первая глава книги "Теория множеств" носит название "Описание формальной математики".  Здесь не место для изложения, которое удовлетворяет строгости, с которой она изложена авторами Трактата.

Ее суть можно представить следующим образом.

    Всякая математическая теория состоит из:

                1) языка формальной теории;

                2) аксиом;

                3) правил вывода.

    Наличие указанных  трех составных частей характеризует ЛЮБУЮ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ.

    Указанные составные части сами имеют некоторое членение.  Рассмотрим первую составную часть Теории:

                               I.ЯЗЫК.

    Последний сам состоит из трех составных частей:

    11) АЛФАВИТ - это буквы и знаки,  которые будут использоваться для написания  текста данной теории.  Мы, с учетом дальнейших примерений, будем рассматривать БУКВЫ отдельно от ЗНАКОВ.  Это различие  не  очень существенно для математики, но полезно для будущих приложений.

    12) СЛОВАРЬ - это или БУКВА или последовательность БУКВ, с помощью которых мы будем писать ИМЕНА ОБЪЕКТОВ,  которые будут рассматриваться в данной теории. Обратим внимание читателя, что после введения СЛОВАРЯ - ВСЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ или УТВЕРЖДЕНИЯ  данной  теории  можно  формировать ТОЛЬКО из данного словаря.  Другое названием ИМЕН ОБЪЕКТОВ - ТЕРМЫ или ТЕРМИНЫ.  Мы видим, что в разных предметных областях используются разные термины, что и должно давать РАЗЛИЧИЕ в словарях различных теорий.

    13) ............ Нет названия всей области, но здесь мы имеем дело с соединением ТЕРМОВ со ЗНАКАМИ. Такое соединение дает ФОРМУЛЫ и СООТНОШЕНИЯ, которые понимаются как ВЫСКАЗЫВАНИЯ или УТВЕРЖДЕНИЯ соответствующие данной предметной области.

    Мы предлагаем  всю  совокупность  ФОРМУЛ или СООТНОШЕНИЙ,  которую можно образовать из данного СЛОВАРЯ и данной совокупности ЗНАКОВ - называть ФОРМУЛИЗМОМ.  Было бы естественнее назвать все возможные высказывания конкретного математического  языка  -  ФОРМАЛИЗМОМ, но...  этот термин  уже используется математикой для обозначения всей теории в целом.

    Обращаем внимание, что число высказываний, утверждений (формул или соотношений) внутри данного языка - ЧЕТНО:  эта  четность  порождается знаком  ОТРИЦАНИЯ,  который сопровождает каждую математическую теорию.

Наряду с высказыванием А  всегда  существует  его  отрицание 7  } 0А  (или НЕ-А).

    Мы видим,  что по способу образования сам по  себе  математический язык допускает любые утверждения из любой предметной области. Он ровно ничего не говорит об ИСТИННОСТИ или НЕ-ИСТИННОСТИ тех или иных утверждений или высказываний (формул или соотношений).

    Различие ИСТИННЫХ и НЕ-ИСТИННЫХ высказываний  определяется  второй составной частью математической теории - ее АКСИОМАМИ.

                             II.АКСИОМЫ.

    Мы предпочитаем различать АКСИОМЫ двух типов:

    21) АКСИОМЫ, которые в данной теории имеют ПОСТОЯННОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

    22) АКСИОМЫ, которые в данной теории могут изменять свое ЗНАЧЕНИЕ.

    Предлагаемое различение  аксиом в нормальной математике не делается,  но нам необходимо это различие,  поскольку в  прикладной  области сохранение  ПОСТОЯННЫХ  АКСИОМ означает,  что сохраняются утверждения, которые мы объявляем ЗАКОНАМИ  данной  предметной  области.  Изменение этих ПОСТОЯННЫХ АКСИОМ означает, что мы ИЗМЕНИЛИ ТЕОРИЮ.

    С другой стороны,  изменение тех аксиом, которые могут менять свое значение - соответствует изменению  УСЛОВИЙ,  в  которых  используется данная теория. Практически речь идет о граничных, краевых, начальных и тому подобных УСЛОВИЯХ, которые сопровождают применение теории.

    Иногда в роли ПОСТОЯННЫХ АКСИОМ выступают КОНСТАНТЫ, более известные как ИНВАРИАНТЫ данной предметной области.  Эти же ИНВАРИАНТЫ в физике выступают в роли ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ.

    Последним элементом любой математической теории являются:

                III.           ПРАВИЛА  ВЫВОДА.

    Это формулы и соотношения,  которые позволяют заменять одно высказывание на другое без потери ИСТИННОСТИ.  О правилах вывода можно сказать так - ЭТО ОДНО и ТО ЖЕ, но выраженное в двух различных формах.

    Перечислив составные  части любой математической теории,  мы можем рассмотреть вопрос о  том,  что  называется  ВЫВОДОМ,  получаемым  как СЛЕДСТВИЕ из принятых АКСИОМ (или ПРЕД-посылок).

    Используя аксиомы и условия мы можем вычленить из списка утверждений данной теории (то есть из списка, названного формулизмом): 

    1) одно  и только одно утверждение (соотношение).  Это ОДНОЗНАЧНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЕ означает,  что список аксиом и условий является для получения предсказания - НЕОБХОДИМЫМ и ДОСТАТОЧНЫМ.

    2) вместо  одного утверждения (сотношения)- несколько:  отсутствие однозначности предсказания свидетельствует о том,  что  нам  НЕДОСТАЕТ каких-то условий для получения однозначных предсказаний.

    3) не существует ни одного утверждения в языке данной теории,  которое удовлетворяет как исходным аксиомам,  так и  условиям.  В  таких случаях принято говорить, что условия противоречивы.

    Очевидно, что  неоднозначность предсказания свидетельствует о том, что НЕТ (НЕДОСТАЕТ) каких-то УСЛОВИЙ.

    Противоречивость может  свидетельствовать  о  необходимости замены некоторых аксиом или условий.

    Решив вопрос с аксиомами и условиями, обратимся к правилам вывода.

    Правила вывода могут в физических приложениях играть роль  УРАВНЕНИЙ  ДВИЖЕНИЯ.  Сохранение  ФОРМЫ уравнений движения является задачей, которая решается при использовании МЕТОДА Г.Крона.

    Практически это  все,  что  необходимо  знать ФИЗИКУ или ХИМИКУ об устройстве всех математических теорий.  В списке постоянных аксиом содержатся УТВЕРЖДЕНИЯ, которые КОНСТРУКТОР ТЕОРИИ объявил ИСТИННЫМИ. Мы подчеркиваем это обстоятельство, так как развитие теории требует ИЗМЕНЕНИЯ АКСИОМ, которые были объявлены ПОСТОЯННЫМИ. По отношению к физике - это означает, что ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ являются не более, чем ПРАВИЛАМИ для вычисления  ПРЕДСКАЗАНИЙ с достаточной для практики точностью.

    Возможная величина невязки этих СОХРАНЯЮЩИХСЯ ВЕЛИЧИН может  выражаться в двадцатом знаке, что может не иметь значения из-за значительной большей погрешности в методах измерения.

 

             ПОСТУЛАТЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ОБОБЩЕНИЙ Г.КРОНА.

                       ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ПОСТУЛАТ.

     Задачей математики  является выражение возможно более длиной цепи понятий возможно меньшим числом символов.

     Допустим, в результате эксперимента было установлено, что пружина с жесткостью 10 удлиняется на 2 см в результате приложения силы 20 кГ.

Это соотношение может быть записано как 20 = 10 х 2. Если приложено 30 кГ, то  удлинение пружины будет 3 см или 30 = 10 х 3.  Для БЕСКОНЕЧНОГО числа возможных  приложенных  сил  и  для БЕСКОНЕЧНОГО числа возможных жесткостей приходится каждый раз писать отдельное уравнение.

     Алгебра вводит следующую символику,  экономящую работу. Пусть все возможные перемещения будут обозначены буквой d,  постоянные пружин  - буквой k и силы - буковой f. Тогда результаты всех возможных ИЗМЕРЕНИЙ могут быть представлены в виде:

                            f = k x d.                    (0)

     Отсюда может быть ПОСТУЛИРОВАНО:

         БЕСКОНЕЧНОЕ РАЗНООБРАЗИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МОЖЕТ БЫТЬ  ЗАМЕНЕНО  ОДНИМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕ ТОЙ ЖЕ ФОРМЫ,  ЕСЛИ КАЖДУЮ  ЦИФРУ ЗАМЕНИТЬ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ БУКВОЙ.

     Такая замена облегчает решение задачи и дает большую наглядность. Несмотря на применение алгебры на промежуточном этапе, в конце анализа все буквы  должны  быть опять заменены цифрами и должна быть проделана определенная вычислительная работа.

Однако, если за буквами алгебраического выражения не окажется физических экспериментальных данных,  т.е. данных о ИЗМЕРЕНИЯХ, то окончательный результат нельзя будет использовать на практике. Умный инженер тем  и  отличается от математика (который считает себя "физиком"), что КАЖДЫЙ алгебраический символ является ФИЗИЧЕСКОЙ ИЗМЕРЯЕМОЙ  ВЕЛИЧИНОЙ. Здесь инженер - "старомоден" и строго следует уже более 500 лет ПОСТУЛАТУ Николая из Кузы:

            "УМОМ (mens) является то, от чего возникает граница и МЕРА (mensura) всех вещей. Я полагаю, стало быть, что его называют mens - от mensurare".

     Благодаря длительному  применению  этот  обобщающий постулат стал для инженера само собою разумеющимся, и он перестал о нем ДУМАТЬ.

     Поскольку этот предварительный постулат не рассматривался с инженерной точки зрения, то мне (совместно с Р.О. ди Бартини) пришлось обратить на это особое внимание. Так и появилась наша работа "О множественности геометрий  и множественности физик".  Мы установили,  что ВСЕ ИЗМЕРЯЕМЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ могут  быть  представлены,  как  разные ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ степени ДЛИНЫ и ВРЕМЕНИ.

                     ПОСТУЛАТ ПЕРВОГО ОБОБЩЕНИЯ.

     Пусть дана электрическая СЕТЬ с n контурами.  Для первого контура (в соответстви  с  ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ постулатом) может быть записано алгебраическое уравнение:

                        e 41 0 = z 41 0i 41 0;

для второго контура:

                        e 42 0 = z 42 0i 42;

                         4..........

      и так далее.

     Вместо того, чтобы писать n уравнений и затем оперировать с ними, можно следующим образом упростить анализ  при  помощи  введения  новой СИМВОЛИКИ.

     Пусть все n контурных токов i 51 0, i 52 0,...расположены в виде 1-матрицы и  обозначены одним символом 2 i 0, аналогично все n приложенных напряжений - символом 2 e 0. Пусть также все n 52 0 собственных и взаимных импедансов будут расположены в виде 2-матрицы и обозначены 2 Z.

     Тогда n алгебраических уравнений могут быть заменены  одним  МАТРИЧНЫМ уравнением:

                                 2e = Zi 0                      (1)

     Это же МАТРИЧНОЕ уравнение в обозначении,  использующим  индексы, принимает вид: 

                            e 7ф 0 = z 7фи 0 i 7И 0                    (1*)

где индексы 7 a  0и  7b 0 пробегаю значения от 1 до n.

     Таким образом может быть ПОСТУЛИРОВАНО:

         n АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,  ОПИСЫВАЮЩИХ ФИЗИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ С

         n  СТЕПЕНЯМИ  СВОБОДЫ,  МОГУТ  БЫТЬ ЗАМЕНЕНИЯ ОДНИМ МАТРИЧНЫМ          УРАВНЕНИЕМ, ИМЕЮЩИМ ТУ ЖЕ ФОРМУ,  ЧТО И УРАВНЕНИЯ ЕЕ  ЧАСТЕЙ, ЕСЛИ КАЖДУЮ БУКВУ ЗАМЕНИТЬ СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ n-МАТРИЦЕЙ.

     Сохранение ФОРМЫ уравнения означает,  что если вместо  физических величин взять их РАЗМЕРНОСТИ,  то соотношение между РАЗМЕРНОСТЯМИ (носителями КАЧЕСТВА физической величины) остается справедливым при подставлении в уравнение любых КОЛИЧЕСТВ. Так уравнение (1) примет вид:

                        [ 2e 0] 2 =  0[ 2Z 0] x [ 2i 0]                    (1**)

     Действия с матричными уравнениями похожи на дейстия  с  алгебраическими уравнениями.

     Подобная замена сокращает анализ и дает болшую  наглядность,  чем исходные n уравнений. Но для получения ЧИСЛЕННОГО ответа (без которого инженер не может считать себя инженером) в конце анализа необходимо:

     1. В n-матрицу необходимо подставить ее элементы, которые состоят из алгебраических символов.

     2. Алгебраические символы необходимо заменить их численным значением, т.е. ЧИСЛАМИ.

                     ПОСТУЛАТ ВТОРОГО ОБОБЩЕНИЯ.

     Предположим, вместо  одной  определенной  электрической сети даны ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ сети с n контурами.  Матричное уравнение первой сети  (в соответствии с постулатом первого обобщения) имеет вид:

                               2e 41 2 = Z 41 2 i 41 0;

второй сети: 2       e 41 2 = Z 41 2 i 41 0;

                              ..........

                 Вместо того, чтобы анализировать каждую сеть отдельно 4, 0 можно составить ОДНО  уравнение,  которое одинаково применимо для всех этих сетей, при помощи введения слeдующей символики.

     Составим сначала  ПОЛНУЮ ГРУППУ всех возмжных матриц преобразавания, которые преобразуют какую-либо одну сеть из этих в  любую  другую (по крайней мере должно быть известно,  как их составить, когда в этом будет необходимость):

                            2C 41 0, 4  2C 42 0,...= C 7Фф 4'

     Затем, только в том случае,  если эти 2 C 0 известны, обозначим совокупность всех матриц токов 2 i 41 2, 0   2i 42 2,... 0 контравариантым вектором (одновалентным тензором) i 7Ф 0, всех матриц напряжения 2 e 41 0, 2 e 42 0,... - ковариантным вектором e 7ф 0,  и всех импедансных матриц 2 Z 41 0,  2Z 42 0,... – двухвалентным тензором Z 7фи 0.

     В этом  случае  БЕСКОНЕЧНОЕ  число матричных уравнений может быть заменено ОДНИМ тензорным уравнением:

                              e 7ф 0 = Z 7фи 0i 7И 0,

(или в матричной записи - в прямом обозначении):

                                 2e = Zi.

     Таким образом, может быть ПОСТУЛИРОВАНО:

         ЕСЛИ ИЗВЕСТНО МАТРИЧНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТДЕЛЬНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ТО ТО ЖЕ УРАВНЕНИЕ ПРИМЕНИМО ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ФИЗИЧЕСКИХ  СИСТЕМ ТОЙ ЖЕ ПРИРОДЫ (ДЛЯ КОТОРЫХ МОЖЕТ БЫТЬ ОБРАЗОВАНА ГРУППА МАТРИЦ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С 7Фф 4' 0),  ЕСЛИ КАЖДУЮ МАТРИЦУ  ЗАМЕНИТЬ СООТВЕТСТВУЮЩИМ ТЕНЗОРОМ.

     Следует иметь в виду, поскольку речь идет о ТЕХНИКЕ и ФИЗИКЕ, то слово "ТЕНЗОР"  означает  ФИЗИЧЕСКУЮ ВЕЛИЧИНУ,  которая определена КАЧЕСТВЕННО (через РАЗМЕРНОСТЬ) и,  одновременно,  КОЛИЧЕСТВЕННО  (имеет определенное ЧИСЛЕННОЕ значение).  Не следует пренебрегать этим различием (порождаемым процедурой ИЗМЕРЕНИЯ) с тем же термином, который используется в  МАТЕМАТИКЕ  (и некоторых бездарных приложениях математического термина "тензор" в математической и теоретической физике).

 

Трудно переоценить  то  обстоятельство,  что  КЛЮЧЕМ к тензорному уравнению является СУЩЕСТВОВАНИЕ группы  матриц  преобразования  C 7Фф 4' 0, при помощи которых обычные уравнения любой из систем могут быть преобразованы и преобразуются в уравнения ЛЮБОЙ другой системы.

     Можно заметить,  что  СУЩЕСТВОВАНИЕ  этого ТЕНЗОРА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ одной электрической сети в другую является  заслугой  самого  Г.Крона.

Этот тензор  преобразования позволяет записывать ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ (и не только электрических). В социально-экономических системах он описывает системы ЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ.

 

Г.Крон получил его как ФИЗИЧЕСКУЮ ИНТЕРПРЕТАЦИЮ якобиана преобразования координат. Если мы переходим от одного вектора тока i к другому вектору тока i, то якобиан преобразования имеет вид:

                               7ч 0i 7Ф

                             ---- = C 7Фф 4'

                               7ч 0i 7Ф 5'

     Неправильно было бы утверждать,  что матричное уравнение действительно для всех сетей. Чтобы символическое уравнение, например

                          2Z' = Z 41 2 - Z 42 2 Z 44 5-1 2 Z 43

было действительно для всех сетей, АБСОЛЮТНО НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ, как при помощи 2 C   0 найти составляющие каждой из матриц 2 Z 41 0, 2Z 42 0, 2Z 43 0, 2Z 44 0 и 2 Z' 0 для любой произвольной частной сети,  применяя определенные правила преобразования, по  составляющим этих величин другой частной сети. Но если  2C известно и  2Z 41 0, 2Z 42 0, 2Z 43 0... каждое имеет определенный закон преобразования, то мы имеем дело не с "матрицами", а с "тензорами".

     Если решение задачи выражено тензорным уравнением, то для получения  ЧИСЛЕННОГО ОТВЕТА:

     1. Каждый тензор должен быть заменен его составляющими в принятой  системе отсчета, т.е. n-матрицами.

     2. Каждая n-матрица должна быть заменена соответствующими  алгебраическими буквами.

     3. Каждая буква должна быть заменена ЧИСЛОМ.

 

ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩАЮЩИЕ ПОСТУЛАТЫ.

     Поскольку постулат  второго обобщения относится к ФИЗИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ ОДИНАКОВОЙ ПРИРОДЫ (или системам координат одинаковой  природы), возникает вопрос,  как поступить,  если физические системы различны по своей природе,  скажем, одна - неподвижная сеть, а другая – вращающася машина, или одна имеет прямолиинейную, а другая - криволинейную систему координат. Для таких случаев по мере надобности могут быть установлены дальнейшие постулаты обобщения, которые будут изложены ниже.

     В общем случае, чем больше экономия в мышлении и работе на промежуточных этапах,  тем больше остается рутинной (формальной) работы, которую надо произвести в конце анализа.  При решении любой задачи количество вычислений  не  меняется от того,  производится ли вычисление с применением или без применения алгебры.  То же верно и для  применения тензоров. Как  алгебра, так и тензоры являются орудиями, экономящими мышление, а не вычислительную работу. Они исключают НЕОБХОДИМОСТЬ РАЗРАБОТКИ НОВЫХ ПРИЕМОВ для решения каждой частной задачи.

                     ПОСТУЛАТ ТРЕТЬЕГО ОБОБЩЕНИЯ.

     a) Предварительный постулат обобщал применение обычного арифметического уравнения,  распространяя  его  на  большое число анналогичных случаев путем замены каждого числа алгебраическим символом.

     Постулат первого обобщения позволил распространить уравнение, записанное для системы с одной степенью (или немногими степенями) свободы, на системы с n степенями свободы путем замены каждого алгебраического символа соответствующей n-матрицей.

     Постулат второго обобщения расширил применение матричного уравнения (или уравнений), записанного для одной системы, позволяя применять его для большого числа систем,  имеющих ОДИННАКОВЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ,путем замены каждой n-матрицы соответствующим геометрическим объектом.

     Постулат третьего обобщения гласит:

         ИНВАРИАНТНОЕ УРАВНЕНИЕ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРОСТЫМИ ТИПАМИ СИСТЕМ  КООРДИНАТ,  МОЖЕТ БЫТЬ  ОБОБЩЕНО  НА  БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ТИПЫ СИСТЕМ КООРДИНАТ ПУТЕМ  ЗАМЕНЫ КАЖДОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА СООТВЕТСТВУЮЩИМ ТЕНЗОРОМ.  В ЧАСТНОСТИ 2 ВСЕ ОБЫЧНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 0 В УРАВНЕНИИ ЗАМЕНЯ ЮТСЯ 2 КОВАРИАНТНЫМИ 0 (ИЛИ АБСОЛЮТНЫМИ) ПРОИЗВОДНЫМИ.